Demostrar que: (es cierto para cualquier x, y positivo) :? x ^ x * y ^ y> = ((x + y) / 2) ^ (x + y)

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Considerar #f (x) = x ln x #

Esta función tiene una hipografía convexa porque

#f '' (x) = 1 / x> 0 #

asi que en este caso

#f ((x + y) / 2) le 1/2 (f (x) + f (y)) # o

# ((x + y) / 2) ln ((x + y) / 2) le 1/2 (x ln x + y ln y) # o

# ((x + y) / 2) ^ ((x + y) / 2) le (x ^ x y ^ y) ^ (1/2) #

y, finalmente, cuadrar ambos lados

# ((x + y) / 2) ^ (x + y) le x ^ x y ^ y #

Deje que D = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 donde a y b sean enteros positivos sucesivos yc = ab. ¿Cómo demostrará que sqrtD es un entero impar positivo?

D = (a ^ 2 + a + 1) ^ 2 que es el cuadrado de un entero impar. Dado a, tenemos: b = a + 1 c = ab = a (a + 1) Entonces: D = a ^ 2 + (a + 1) ^ 2 + (a (a + 1)) ^ 2 = a ^ 2+ (a ^ 2 + 2a + 1) + a ^ 2 (a ^ 2 + 2a + 1) = a ^ 4 + 2a ^ 3 + 3a ^ 2 + 2a + 1 = (a ^ 2 + a + 1) ^ 2 Si a es impar, entonces también lo es a ^ 2 y, por lo tanto, a ^ 2 + a + 1 es impar. Si a es par, entonces es a ^ 2 y, por lo tanto, a ^ 2 + a + 1 es impar.

¿Demostrar que el número sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) no es racional para cualquier número natural n mayor que 1?

Ver explicación ...Supongamos que sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) es racional. Entonces su cuadrado debe ser racional, es decir: 1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) y por lo tanto es : sqrt (2 + sqrt (3 + ... + sqrt (n))) Podemos cuadrar y restar repetidamente para encontrar que lo siguiente debe ser racional: {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), ( sqrt (n)):} Por lo tanto, n = k ^ 2 para algunos enteros positivos k> 1 y: sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) Tenga en cuenta que: k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 Por lo tanto, k ^ 2 + k-1 tampoco es el cuadrado de un número entero y sqrt (k ^ 2 +

¿Con qué exponente la potencia de cualquier número se convierte en 0? Como sabemos, (cualquier número) ^ 0 = 1, entonces, ¿cuál será el valor de x en (cualquier número) ^ x = 0?

Vea a continuación que z sea un número complejo con estructura z = rho e ^ {i phi} con rho> 0, rho en RR y phi = arg (z) podemos hacer esta pregunta. ¿Para qué valores de n en RR ocurre z ^ n = 0? Desarrollando un poco más z ^ n = rho ^ ne ^ {en phi} = 0-> e ^ {en phi} = 0 porque por hipoteso rho> 0. Entonces, usando la identidad de Moivre e ^ {en phi} = cos (n phi ) + i sin (n phi) luego z ^ n = 0-> cos (n phi) + i sin (n phi) = 0-> n phi = pi + 2k pi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots Finalmente, para n = (pi + 2k pi) / phi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots obtenemos z ^ n = 0