¿Demostrar que el número sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) no es racional para cualquier número natural n mayor que 1?

Responder:

Ver explicación …

Explicación:

Suponer:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) # es racional

Entonces su cuadrado debe ser racional, es decir:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

y por lo tanto es así:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n)) #

Podemos cuadrar y restar repetidamente para encontrar que lo siguiente debe ser racional:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Por lo tanto # n = k ^ 2 # para algún entero positivo #k> 1 # y:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Tenga en cuenta que:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Por lo tanto # k ^ 2 + k-1 # Tampoco es el cuadrado de un número entero y #sqrt (k ^ 2 + k-1) # Es irracional, contradice nuestra afirmación de que #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # es racional

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Asumiendo

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # con # p / q # no reductibles tenemos

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

lo cual es absurdo, porque de acuerdo con este resultado, cualquier raíz cuadrada de un entero positivo es racional.