Pregunta # 27939

Responder:

Como ha señalado Sudip Sinha. # -1 + sqrt3i # NO es un cero. (Me olvidé de comprobar que.) Los otros ceros son # 1-sqrt3 i # y #1#.

Explicación:

Debido a que todos los coeficientes son números reales, todos los ceros imaginarios deben aparecer en pares conjugados.

Por lo tanto, # 1-sqrt3 i # es un cero.

Si #do# es un cero entonces # z-c # Es un factor, por lo que podríamos multiplicar.

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # Llegar # z ^ 2-2z + 4 #

y luego dividir #P (z) # por eso cuadrático.

Pero es más rápido considerar el posible cero racional para #PAG# primero. O añada los coeficientes para ver que #1# También es un cero.

Responder:

#1# y # 1 - sqrt3 i #

Explicación:

Hay un error en tu pregunta. La raíz debe ser # 1 + sqrt3 i #. Puedes verificar esto poniendo el valor en la expresión. Si es una raíz, la expresión debe evaluar a cero.

La expresión tiene todos los coeficientes reales, por lo que según el Teorema de raíces conjugadas complejas (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), tenemos que la otra raíz compleja es # 1 - sqrt3 i #, Claramente, la tercera raíz #una#) tiene que ser real, ya que no puede tener un conjugado complejo; de lo contrario, habrá 4 raíces, lo que no es posible para una ecuación de tercer grado.

Nota

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Ya que # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Intentaremos obtener este factor en la expresión.

Podemos escribir:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Responder:

Como introducción, creo que la raíz debería ser #color (azul) (1 + sqrt3) # y no #color (rojo) (- 1 + sqrt3) #

Sobre esa base mi respuesta es:

#z en {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Explicación:

Usando la idea de conjugados complejos y alguna otra trucos geniales.

#P (z) # es un polinomio de grado #3#. Esto implica que solo debería tener #3# raíces

Un hecho interesante acerca de las raíces complejas es que nunca ocurren solas. Siempre ocurren en pares conjugados.

Así que si # 1 + isqrt3 # Es una raíz, luego su conjugado: # 1-isqrt3 # ¡Ciertamente es una raíz también!

Y como solo queda una raíz más, podemos llamar a esa raíz # z = a #.

No es un número complejo porque las raíces complejas siempre aparecen en pares.

Y ya que este es el último de los #3# ¡Raíces, no puede haber ninguna otra pareja después de la primera!

Al final los factores de #P (z) # fueron encontrados fácilmente para ser # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "y" (z-a) #

NB: Tenga en cuenta que la diferencia entre una raíz y un factor es que:

- Una raíz podría ser # z = 1 + i #

Pero el factor correspondiente sería # z- (1 + i) #

El segundo truco es que, factorizando #P (z) # deberíamos conseguir algo como esto:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

A continuación, expanda las llaves, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

A continuación, comparamos esto con el polinomio original #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Como los dos polinomios son idénticos, igualamos los coeficientes de # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #y # z ^ 0 #(el término constante) en cualquier lado,

En realidad, solo tenemos que elegir una ecuación y resolverla #una#

Igualando los términos constantes, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

De ahí que la última raíz sea #color (azul) (z = 1) #