Responder:
Ya respondí aquí.
Explicación:
Necesitas primero encontrar # sin18 ^ @ #, para los cuales los detalles están disponibles aquí.
Entonces puedes conseguir # cos36 ^ @ # como se muestra aquí.
Responder:
Solucionamos #cos (2 theta) = cos (3 theta) # o # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # para # x = cos 144 ^ circ # y obten #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Explicación:
Obtenemos #cos 36 ^ circ # ligeramente indirectamente de la fórmula de doble y triple ángulo para el coseno. Es genial cómo se hace, y tiene un final sorprendente.
Nos centraremos en #cos 72 ^ circ #. El ángulo # theta = 72 ^ circ # satisface
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Vamos a resolver eso para # theta #recordando #cos x = cos a # tiene soluciones #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # o # -theta = 360 ^ circ k #
# theta = 72 ^ circ k #
Que incluye el # 360 ^ circ k # para que podamos soltar la parte "o".
No estoy escribiendo un misterio aquí (a pesar del final sorpresa), así que voy a mencionar que #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # También es una solución válida y vemos cómo se relaciona con la pregunta.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Ahora deja # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Sabemos # x = cos (0 times 72 ^ circ) = 1 # es una solución para # (x-1) # es un factor
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
La cuadrática tiene raíces.
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
El positivo debe ser #cos 72 ^ circ # y el negativo #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Esa es la respuesta. ¡La sorpresa es que es la mitad de la proporción de oro!
