¿Qué número de dos dígitos es igual a su cuadrado de suma?

Responder:

#81#

Explicación:

Si el dígito de las decenas es #una# y el dígito de las unidades #segundo#, entonces #a, b # debe satisfacer:

# 10a + b = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Restando # 10a + b # De ambos extremos, esto se convierte en:

# 0 = a ^ 2 + 2 (b-5) a + b (b-1) #

#color (blanco) (0) = a ^ 2 + 2 (b-5) + (b-5) ^ 2 + (b (b-1) - (b-5) ^ 2) #

#color (blanco) (0) = (a + (b-5)) ^ 2+ (b ^ 2-b-b ^ 2 + 10b-25)) #

#color (blanco) (0) = (a + (b-5)) ^ 2- (25-9b) #

Asi que:

# a + b-5 = + -sqrt (25-9b) #

Para poder # 25-9b # para ser un cuadrado perfecto, requerimos # b = 1 #.

Entonces:

# a + b-5 = + -sqrt (25-9) = + -sqrt (16) = + -4 #

Asi que:

#a = 5-b + -4 = 4 + -4 #

Así que el único valor no cero para #una# es # a = 8 #.

Encontramos:

#81 = 9^2 = (8+1)^2' '# según sea necesario.

Alternativamente, podríamos haber mirado los primeros números cuadrados y verificar:

#16 = 4^2 != (1+6)^2#

#25 = 5^2 != (2+5)^2#

#36 = 6^2 != (3+6)^2#

#49 = 7^2 != (4+9)^2#

#64 = 8^2 != (6+4)^2#

#81 = 9^2 = (8+1)^2' '# Sí.