Hay 7 niños en un aula. ¿De cuántas maneras pueden alinearse para el recreo?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Este problema particular es un permutación. Recuerde, la diferencia entre permutaciones y combinaciones es que, con las permutaciones, el orden importa. Dado que la pregunta pregunta cuántas formas pueden alinearse los estudiantes para el recreo (es decir, cuántas órdenes diferentes), esto es una permutación.

Por el momento, imagina que estábamos llenando solo dos posiciones, posición 1 y posición 2. Para diferenciar entre nuestros estudiantes, porque el orden es importante, asignaremos a cada uno una letra de la A a la G. Ahora, si estamos llenando estas posiciones uno a la vez, tenemos siete opciones para llenar la primera posición: A, B, C, D, E, F y G. Sin embargo, una vez que se llena esa posición, solo tenemos seis opciones para la segunda, porque una de las Los estudiantes ya han sido posicionados.

Como ejemplo, supongamos que A está en la posición 1. Entonces nuestras posibles órdenes para nuestras dos posiciones son AB (es decir, A en la posición 1 y B en la posición 2), AC, AD, AE, AF, AG. Sin embargo … esto no tiene en cuenta todos los pedidos posibles aquí, ya que hay 7 opciones para la primera posición. Por lo tanto, si B estuviera en la posición 1, tendríamos como posibilidades BA, BC, BD, BE, BF y BG. Así multiplicamos nuestro número de opciones juntas: #7*6 = 42#

Mirando hacia atrás al problema inicial, hay 7 estudiantes que pueden colocarse en la posición 1 (nuevamente, asumiendo que llenamos las posiciones 1 a 7 en orden). Una vez que se llena la posición 1, 6 estudiantes pueden colocarse en la posición 2. Con las posiciones 1 y 2 ocupadas, 5 pueden colocarse en la posición 3, etcétera, hasta que solo un estudiante pueda colocarse en la última posición. Así, multiplicando nuestro número de opciones juntas, obtenemos #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Para una fórmula más general para encontrar el número de permutaciones de #norte# objetos tomados # r # a la vez sin reemplazo (es decir, el estudiante en la posición 1 no regresa al área de espera y se convierte en una opción para la posición 2), tendemos a usar la fórmula:

Número de permutaciones = # "n!" / "(n-r)!" #.

con #norte# el número de objetos, # r # el número de puestos a llenar, y #!# el simbolo para el factorial, una operación que actúa sobre un entero no negativo #una# tal que #¡una!# = #atimes (a-1) veces (a-2) veces (a-3) veces … veces (1) #

Por lo tanto, al utilizar nuestra fórmula con el problema original, donde tenemos 7 estudiantes tomados 7 a la vez (por ejemplo, deseamos llenar 7 posiciones), tenemos

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Podría parecer contra-intuitivo que #0! = 1#; Sin embargo, este es realmente el caso.