¿Cuál es el rango de una función cuadrática?

Responder:

El rango de #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # es:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "if" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "if" a <0):} #

Explicación:

Dada una función cuadrática:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # con #a! = 0 #

Podemos completar la plaza para encontrar:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Para valores reales de #X# el término cuadrado # (x + b / (2a)) ^ 2 # No es negativo, tomando su valor mínimo. #0# cuando #x = -b / (2a) #.

Entonces:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Si #a> 0 # entonces este es el mínimo valor posible de #f (x) # y el rango de #f (x) # es # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Si #a <0 # entonces este es el máximo valor posible de #f (x) # y el rango de #f (x) # es # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Otra forma de ver esto es dejar que #y = f (x) # y ver si hay una solución para #X# en términos de # y #.

Dado:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Sustraer # y # de ambos lados para encontrar:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

El discriminante #Delta# de esta ecuación cuadrática es:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Para tener soluciones reales, requerimos #Delta> = 0 # y entonces:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Añadir # 4ac-b ^ 2 # a ambos lados para encontrar:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Si #a> 0 # entonces simplemente podemos dividir ambos lados por # 4a # Llegar:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Si #a <0 # entonces podemos dividir ambos lados por # 4a # y revertir la desigualdad para conseguir:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #