¿Cómo encuentras int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx usando fracciones parciales?

$¿Cómo encuentras int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx usando fracciones parciales?$

Responder:

Intenta dividir la función racional en una suma que será realmente fácil de integrar.

Explicación:

Ante todo: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

La descomposición parcial de fracciones le permite hacer eso:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # con # a, b en RR # que tienes que encontrar

Para encontrarlos, debes multiplicar ambos lados por uno de los polinomios a la izquierda de la igualdad. Les muestro un ejemplo, el otro coeficiente se encuentra de la misma manera.

Vamos a encontrar #una#: tenemos que multiplicar todo por #X# para hacer desaparecer el otro coeficiente.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Haces lo mismo para encontrar. #segundo# (se multiplica todo por # (x-1) # entonces tu eliges #x = 1 #), y descubres que #b = 1 #.

Asi que # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, lo que implica que #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

¿Cómo se integra int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) usando fracciones parciales?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Necesitamos encontrar A, B, C tal que 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) para todos los x. Multiplica ambos lados por x ^ 2 (2x-1) para obtener 1 = Axe (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Los coeficientes de igualación nos dan {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Y así tenemos A = -2, B = -1, C = 4. Sustituyendo esto en la ecuación inicial, obtenemos 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Ahora, integre el término con el término int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx para

¿Cómo encuentras int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx usando fracciones parciales?

Ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C Sea 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) sea = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) ) Expandiendo el lado derecho, obtenemos (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) Igualando, obtenemos (A * (1 - 2x) ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) es decir A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 o A - 2Ax + B + Bx = 3 o (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 igualando el coeficiente de x a 0 y igualando constantes, obtenemos A + B = 3 y -2A + B = 0 Al resolver A y B, obtenemos A = 1 y B = 2 Sustituyendo en la integración, obtenemos int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx

¿Cómo se integra int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) usando fracciones parciales?

Debe descomponer (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) como una fracción parcial. Está buscando a, b, c en RR tal que (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Les mostraré cómo encontrar un único, porque byc se encuentran exactamente de la misma manera. Si multiplicas ambos lados por x + 3, esto hará que desaparezca del denominador del lado izquierdo y aparecerá junto a b y c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Evalúas esto en x-3 para hacer