Cada rectángulo es de 6 cm de largo y 3 cm de ancho, comparten una diagonal común de PQ. ¿Cómo demuestras que tanalpha = 3/4?

Responder:

yo obtengo #tan alfa = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

Explicación:

Divertido. Puedo pensar en algunas maneras diferentes de ver esta. Para el rectángulo horizontal, llamemos la parte superior izquierda S y la parte inferior derecha R. Llamemos al vértice de la figura, una esquina del otro rectángulo, T.

Tenemos ángulos congruentes QPR y QPT.

# tan QPR = tan QPT = frac {texto {opuesto}} {texto {adyacente}} = 3/6 = 1/2 #

La fórmula de doble ángulo tangente nos da #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frac {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

Ahora #alfa# es el ángulo complementario de RPT (suman hasta # 90 ^ circ #), asi que

# tan alfa = cuna RPT = 3/4 #

Responder:

Por favor ver más abajo.

Explicación:

triangulos # DeltaABP # y # DeltaCBQ # Son triángulos rectángulos que tienen:

# AP = CQ = 3 # y

# / _ ABP = / _ CBQ # Porque son ángulos verticales.

Por lo tanto, los dos triángulos son congruentes.

Esto significa:

# PB = BQ #

Dejar # AB = x # y # BQ = y # entonces:

# PB = y #

Lo sabemos:

# x + y = 6 # cm #color (rojo) (Ecuación-1) #

En triangulo # DeltaABP #:

# y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #color (rojo) (Ecuación-2) #

Vamos a resolver para # y # desde #color (rojo) (Ecuación-1) #:

# y = 6-x #

Vamos a enchufar esto en #color (rojo) (Ecuación-2) #:

# (6-x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# x = 9/4 #

# tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 9/12 = 3/4 #