¿Cómo encuentras la derivada de y = Arcsin ((3x) / 4)?

Responder:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Explicación:

Tendrás que usar la regla de la cadena. Recordemos que la fórmula para esto es:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

La idea es que primero tome la derivada de la función más externa, y luego trabaje en su interior.

Antes de comenzar, identifiquemos todas nuestras funciones en esta expresión. Tenemos:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # es la función más externa, así que comenzaremos por tomar la derivada de eso. Asi que:

# dy / dx = color (azul) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) #

Observe cómo todavía estamos preservando eso # ((3x) / 4) # ahí. Recuerde, cuando usa la regla de la cadena, usted diferencia la entrada externa, pero aún así mantener las funciones internas Al diferenciar los exteriores.

# (3x) / 4 # Es nuestra siguiente función externa, por lo que también necesitaremos etiquetar la derivada de eso. Asi que:

#color (gris) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) * color (azul) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * (3/4) #

¡Y ese es el final de la porción de cálculo para este problema! Todo lo que queda es hacer una simplificación para poner en orden esta expresión, y terminamos con:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Si desea ayuda adicional sobre la Regla de la Cadena, lo invito a echar un vistazo a algunos de mis videos sobre el tema:

Espero que haya ayudado:)

Responder:

Dado: #color (azul) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Explicación:

Dado:

#color (azul) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Composición de funciones Está aplicando una función a los resultados de otra:

Observar que el argumento de la función trigonométrica #sin ^ (- 1) ("") # También es una función.

los Cadena de reglas Es una regla para diferenciar. composiciones de funciones como la que tenemos nosotros.

Cadena de reglas:

#color (rojo) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (o)

#color (azul) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Se nos da

#color (azul) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Dejar, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" y "" u = (3x) / 4 #

#color (verde) (Step.1 #

Vamos a diferenciar

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Función.1

utilizando la resultado derivado común:

#color (marrón) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Usando el resultado anterior podemos diferenciar Función.1 arriba como

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) "" # Resultado.1

#color (verde) (Step.2 #

En este paso, diferenciaremos la función interna # (3x) / 4 #

# d / (dx) ((3x) / 4) #

Tire de la constante

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Resultado.2

#color (verde) (Step.3 #

Vamos a utilizar los dos resultados intermedios, Resultado.1 y Resultado.2 para proceder.

Comenzaremos con

#color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Sustituir la espalda #color (marrón) (u = ((3x) / 4) #

Entonces, #color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / cancel 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * cancel 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Por lo tanto, nuestra respuesta final se puede escribir como

#color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #