¿Cuál es el área de un hexágono regular con un apotema de 6 m de longitud?

Responder:

#S_ (hexágono) = 216 / sqrt (3) = 36sqrt (3) ~ = 62.35m ^ 2 #

Explicación:

Con referencia al hexágono regular, de la imagen de arriba podemos ver que está formado por seis triángulos cuyos lados son los radios de dos círculos y el lado del hexágono. El ángulo de cada vértice de estos triángulos que está en el centro del círculo es igual a #360^@/6=60^@# y así deben ser los otros dos ángulos formados con la base del triángulo a cada uno de los radios: por lo que estos triángulos son equiláteros.

El apotema divide equitativamente cada uno de los triángulos equiláteros en dos triángulos rectos cuyos lados son el radio del círculo, el apotema y la mitad del lado del hexágono. Dado que el apotema forma un ángulo recto con el lado del hexágono y como el lado del hexágono se forma #60^@# con un radio de círculo con un punto final en común con el lado del hexágono, podemos determinar el lado de esta manera:

#tan 60 ^ @ = ("cateto opuesto") / ("cateto adyacente") # => #sqrt (3) = (Apothem) / ((lado) / 2 # => # side = (2 / sqrt (3)) Apothem #

Como ya se mencionó, el área del hexágono regular está formada por el área de 6 triángulos equiláteros (para cada uno de estos triángulos, la base es el lado de un hexágono y el apotema funciona como altura) o:

#S_ (hexágono) = 6 * S triángulo = 6 ((base) (altura)) / 2 = 3 (2 / sqrt (3)) Apothem * Apothem = (6 / sqrt (3)) (Apothem) ^ 2 #

=> #S_ (hexágono) = (6 x x 6 ^ 2) / sqrt (3) = 216 / sqrt (3) #