Las dos esquinas de un triángulo isósceles están en (1, 7) y (5, 3). Si el área del triángulo es 6, ¿cuáles son las longitudes de los lados del triángulo?

Sean las coordenadas de la tercera esquina del triángulo isósceles. # (x, y) #. Este punto es equidistante de otras dos esquinas.

Asi que

# (x-1) ^ 2 + (y-7) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-14y + 49 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 #

# => 8x-8y = -16 #

# => x-y = -2 #

# => y = x + 2 #

Ahora el perpendicular dibujado de # (x, y) # en el segmento de línea que une dos esquinas dadas del triángulo bisecará el lado y las coordenadas de este punto medio serán #(3,5)#.

Así que la altura del triángulo.

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2) #

Y la base del triangulo

# B = sqrt ((1-5) ^ 2 + (7-3) ^ 2) = 4sqrt2 #

Área del triángulo

# 1 / 2xxBxxH = 6 #

# => H = 12 / B = 12 / (4sqrt2) #

# => H ^ 2 = 9/2 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 9/2 #

# => (x-3) ^ 2 + (x + 2-5) ^ 2 = 9/2 #

# => 2 (x-3) ^ 2 = 9/2 #

# => (x-3) ^ 2 = 9/4 #

# => x = 3/2 + 3 = 9/2 = 4.5 #

Asi que # y = x + 2 = 4.5 + 2 = 6.5 #

De ahí la longitud de cada lado igual.

# = sqrt ((5-4.5) ^ 2 + (3-6.5) ^ 2) #

# = sqrt (0.25 + 12.25) = sqrt12.5 = 2.5sqrt2 #

Por lo tanto, las longitudes de tres lados son # 2.5sqrt2,2.5sqrt2,4sqrt2 #