¿Cuáles son los extremos absolutos de f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) en [2,9]?

Responder:

El mínimo absoluto es # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# lo que ocurre cuando # x = 9 #.

El máximo absoluto es # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # lo que ocurre cuando # x = 2 #.

Explicación:

Los extremos absolutos de una función son los valores y más grandes y más pequeños de la función en un dominio dado. Este dominio nos puede ser dado (como en este problema) o podría ser el dominio de la función en sí. Incluso cuando se nos da el dominio, debemos considerar el dominio de la función en sí, en caso de que excluya cualquier valor del dominio que se nos da.

#f (x) # contiene el exponente #1/3#, que no es un número entero. Por suerte, el dominio de #p (x) = root3 (x) # es # (- oo, oo) # por lo que este hecho no es un problema.

Sin embargo, todavía debemos considerar el hecho de que el denominador no puede ser igual a cero. El denominador será igual a cero cuando #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Ninguno de estos valores se encuentra en el dominio dado de #2,9#.

Entonces, nos dirigimos a encontrar los extremos absolutos en #2,9#. Los extremos absolutos ocurren en los puntos finales del dominio o en los extremos locales, es decir, puntos en los que la función cambia de dirección. Los extremos locales ocurren en puntos críticos, que son puntos en el dominio donde la derivada es igual a #0# o no existe. Por lo tanto, debemos encontrar el derivado. Usando la regla del cociente:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Si factorizamos # -3x ^ (- 2/3) # Fuera del numerador, tenemos:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

No hay valores de #X# en #2,9# dónde #f '(x) # no existe. Tampoco hay valores en #2,9# dónde #f '(x) = 0 #. Por lo tanto, no hay puntos críticos en el dominio dado.

Usando la "prueba de candidatos", encontramos los valores de #f (x) # en los puntos finales. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Una revisión rápida en nuestras calculadoras muestra que:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (máximo absoluto)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (mínimo absoluto)