¿Cuál es el límite cuando t se acerca a 0 de (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Determinamos esto utilizando la Regla de L'hospital..

Parafraseando, la regla de L'Hospital establece que cuando se le da un límite de la forma #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, dónde #fa)# y #Georgia)# son valores que hacen que el límite sea indeterminado (la mayoría de las veces, si ambos son 0, o alguna forma de), siempre y cuando ambas funciones sean continuas y diferenciables en y cerca de #una,# uno puede decir que

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

O en palabras, el límite del cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

En el ejemplo proporcionado, tenemos #f (t) = tan (6t) # y #g (t) = pecado (2t) #. Estas funciones son continuas y diferenciables cerca. # t = 0, tan (0) = 0 y sin (0) = 0 #. Así, nuestra inicial #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Por lo tanto, debemos hacer uso de la Regla de L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 seg ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Así…

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 seg ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 seg ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Responder:

El Reqd. Lim.#=3#.

Explicación:

Encontraremos esto Límite usando el siguiente Resultados estándar:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Observa eso, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Aquí, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Similar, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Por lo tanto, el Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.