Para f (x) = xsin ^ 3 (x / 3) ¿cuál es la ecuación de la línea tangente en x = pi?

Responder:

# y = 1.8276x-3.7 #

Explicación:

Tienes que encontrar el derivado:

#f '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) '#

En este caso, la derivada de la función trigonométrica es en realidad una combinación de 3 funciones elementales. Estos son:

# sinx #

# x ^ n #

# c * x #

La forma en que esto se resolverá es la siguiente:

# (sin ^ 3 (x / 3)) '= 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Por lo tanto:

#f '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + xcos (x / 3)) #

La derivación de la ecuación tangente:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Sustituyendo los siguientes valores:

# x_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2.0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1.8276 #

Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

# y = 1.8276x-1.8276 * π + 2.0405 #

# y = 1.8276x-3.7 #

En la siguiente gráfica puedes ver que en # x = π = 3.14 # la tangente está aumentando y se intersecará con el eje de y'y #y <0 #

gráfica {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1.53, 9.57, -0.373, 5.176}