¿Cómo demuestras arcsin x + arccos x = pi / 2?

Responder:

como se muestra

Explicación:

Dejar

# arcsinx = theta #

entonces

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Responder:

La declaración es verdadera cuando las funciones de disparo inverso se refieren a los valores principales, pero eso requiere más atención para mostrar que lo que proporciona la otra respuesta.

Cuando las funciones trigonométricas inversas se consideran multivalor, obtenemos un resultado más matizado, por ejemplo

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # pero #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Tenemos que restar para obtener # pi / 2 #.

Explicación:

Este es más complicado de lo que parece. La otra respuesta no le hace el debido respeto.

Una convención general es usar la letra pequeña. #arccos (x) # y #arcsin (x) # como expresiones multivalor, cada una de las cuales indica respectivamente todos los valores cuyo coseno o seno tiene un valor dado #X#.

El significado de la suma de esos es realmente cada combinación posible, y esos no siempre dan # pi / 2. # Ni siquiera siempre dan uno de los ángulos coterminales. # pi / 2 + 2pi k quad # entero # k #, como mostraremos ahora.

Veamos primero cómo funciona con las funciones de disparo inverso multivalor. Recuerda en general # cos x = cos a # tiene soluciones # x = pm a + 2pi k quad # entero # k #.

# c = arccos x # realmente significa

#x = cos c #

#s = arcsin x # realmente significa

#x = pecado s #

#y = s + c #

#X# está desempeñando el papel de un parámetro real que barre desde #-1# a #1#. Queremos resolver para # y #, encuentra todos los valores posibles de # y # que tienen un #x, s # y #do# Eso hace estas ecuaciones simultáneas. #x = cos c, x = sin s, y = s + c # cierto.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Utilizamos nuestra solución general anterior sobre la igualdad de cosenos.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # entero # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Así obtenemos el resultado mucho más nebuloso, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Está permitido voltear el cartel en # k. #)

Centrémonos ahora en los valores principales, que escribo con letras mayúsculas:

Show #text {Arc} text {sin} (x) + texto {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

La declaración es de hecho cierta para los valores principales definidos de la manera habitual.

La suma solo se define (hasta que nos adentramos en números complejos) para # -1 le x le 1 # Porque los senos y cosenos válidos están en ese rango.

Miraremos a cada lado del equivalente.

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) #

Tomaremos el coseno de ambos lados.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x)) = sin (texto {Arco} texto {sin} (x)) = x #

Así que sin preocuparnos por signos o valores principales estamos seguros.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) #

La parte difícil, la parte que merece respeto, es el siguiente paso:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # NO ESTOY SEGURO TODAVÍA

Tenemos que pisar con cuidado. Tomemos lo positivo y lo negativo. #X# por separado.

primero # 0 le x le 1 #. Eso significa que los valores principales de ambas funciones trigonométricas inversas están en el primer cuadrante, entre #0# y # pi / 2. # Limitado al primer cuadrante, los cosenos iguales implican ángulos iguales, por lo que concluimos para #x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Ahora # -1 le x <0. # El valor principal del signo inverso está en el cuarto cuadrante, y para #x <0 # Solemos definir el valor principal en el rango.

# - pi / 2 le texto {Arc} texto {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x) le pi #

El valor principal para el coseno inverso negativo es el segundo cuadrante, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Entonces tenemos dos ángulos en el segundo cuadrante cuyos cosenos son iguales, y podemos concluir que los ángulos son iguales. por #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

De cualquier manera, # text {Arc} text {sin} (x) + texto {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #