¿Cómo simplifico el pecado (arccos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x))?

Responder:

yo obtengo #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) ## = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #

Explicación:

Tenemos el seno de una diferencia, por lo que el paso uno será la fórmula del ángulo de diferencia, #sin (a-b) = sin a cos b - porque a sin b #

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = sin arccos (sqrt {2} / 2) cos arcsin (2x) + cos arccos (sqrt {2} / 2) sin arcsin (2x) #

Bueno, el seno de arcoseno y el coseno de arccosina son fáciles, pero ¿qué pasa con los demás? Bien reconocemos #arccos (sqrt {2} / 2) # como # pm 45 ^ circ #, asi que

#sin arccos (sqrt {2} / 2) = pm sqrt {2} / 2 #

Voy a dejar el #pm# ahí; Intento seguir la convención de que arccos es todos los cosenos inversos, frente a Arccos, el valor principal.

Si conocemos el seno de un ángulo es # 2x #, ese es un lado de # 2x # y una hipotenusa de #1# entonces el otro lado es # sqrt {1-4x ^ 2} #.

# cos arcsin (2x) = pm sqrt {1-4x ^ 2} #

Ahora, #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = pm sqrt {2} / 2 sqrt {1-4x ^ 2} + (sqrt {2} / 2) (2x) #

# = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #