¿Probar que el conjunto de potencias es un campo?

Responder:

El conjunto de potencias de un conjunto es un anillo conmutativo bajo las operaciones naturales de unión e intersección, pero no un campo bajo esas operaciones, ya que carece de elementos inversos.

Explicación:

Dado cualquier conjunto # S #, considera el conjunto de potencias # 2 ^ S # de # S #.

Esto tiene operaciones naturales de unión. # uu # Que se comporta como adición, con una identidad. # O / # y la intersección # nn # Que se comporta como multiplicación con una identidad. # S #.

Con más detalle:

• # 2 ^ S # está cerrado bajo # uu #

  Si #A, B en 2 ^ S # entonces #A uu B en 2 ^ S #

• Hay una identidad # O / en 2 ^ S # para # uu #

  Si #A en 2 ^ S # entonces #A uu O / = O / uu A = A #

• # uu # es asociativa

  Si #A, B, C en 2 ^ S # entonces #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # es conmutativo

  Si #A, B en 2 ^ S # entonces #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # está cerrado bajo # nn #

  Si #A, B en 2 ^ S # entonces #A nn B en 2 ^ S #

• Hay una identidad #S en 2 ^ S # para # nn #

  Si #A en 2 ^ S # entonces #A nn S = S nn A = A #

• # nn # es asociativa

  Si #A, B, C en 2 ^ S # entonces #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # es conmutativo

  Si #A, B en 2 ^ S # entonces #Ann B = B nn A #

• # nn # Se distribuye a la izquierda ya la derecha. # uu #

  Si #A, B en 2 ^ S # entonces #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  y # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Asi que # 2 ^ S # satisface todos los axiomas requeridos para ser un anillo conmutativo con adición # uu # y multiplicación # nn #.

Si #S = O / # entonces # 2 ^ S # tiene un elemento, a saber # O / #, por lo que no tiene identidades aditivas y multiplicativas distintas y, por lo tanto, no es un campo.

De lo contrario nota que # S # no tiene inverso bajo # uu # y # O / # no tiene inverso bajo # nn #. Asi que # 2 ^ S # No forma un campo debido a la falta de elementos inversos.