¿Cuál es el inverso de f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Responder:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Explicación:

Suponiendo que estamos tratando con # log_3 # Como una función real valorada e inversa de # 3 ^ x #, entonces el dominio de #f (x) # es # (3, oo) #, ya que requerimos #x> 3 # para que # log_3 (x-3) # estar definido.

Dejar #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Entonces:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Asi que:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Asi que:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Asi que:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

De hecho, debe ser la raíz cuadrada positiva ya que:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Asi que:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Por lo tanto:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #