¿Cómo calcular esto? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Ejemplo

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Desafortunadamente, la función dentro de la integral no se integrará a algo que no puede expresarse en términos de funciones elementales. Tendrás que usar métodos numéricos para hacer esto.

Puedo mostrarte cómo usar una expansión de serie para obtener una valor aproximado.

Comienza con la serie geométrica:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = suma_ (n = 0) ^ oor ^ n # para # rlt1 #

Ahora integra con respecto a # r # y usando los limites #0# y #X# para obtener esto:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integrando el lado izquierdo:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Ahora integre el lado derecho al integrar término por término:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Así que se deduce que:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Ahora dividir por #X#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Así que ahora tenemos la expresión de series de potencias para la función con la que originalmente comenzamos. Finalmente, podemos integrarnos nuevamente para obtener:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Integrar el lado derecho término por término nos da:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

La evaluación de los límites a cuatro términos nos dará un valor aproximado:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Ahora, esto es sólo para cuatro términos. Si desea un número más preciso, simplemente use más términos en la serie. Por ejemplo, yendo al término 100:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Además, si realiza el mismo proceso exacto pero utiliza la notación de resumen (es decir, con big sigma en lugar de escribir los términos de la serie) encontrará que:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

que es solo la función Riemann-Zeta de 2, es decir:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

En realidad, ya sabemos que el valor de esto es: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Por lo tanto, el valor exacto de la integral se puede deducir como:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #