¿Cuál es el significado de la frase matriz invertible?

La respuesta corta es que en un sistema de ecuaciones lineales si la matriz de coeficientes es invertible, entonces su solución es única, es decir, tiene una solución.

Hay muchas propiedades para una matriz invertible para enumerar aquí, por lo que debería mirar el teorema de la matriz invertible. Para que una matriz sea invertible, debe ser cuadrado, es decir, tiene el mismo número de filas que las columnas.

En general, es más importante saber que una matriz es invertible, en lugar de producir realmente una matriz invertible porque es más costoso computacionalmente calcular la matriz invertible en comparación con solo resolver el sistema. Calcularía una matriz inversa si estuviera resolviendo muchas soluciones.

Supongamos que tienes este sistema de ecuaciones lineales:

# 2x + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = b_2 #

y necesitas resolver # (x, y) # para los pares de constantes: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. ¡Parece mucho trabajo! En forma matricial, este sistema se ve así:

# Axe = b #

dónde #UNA# es la matriz de coeficientes, #X# es el vector # (x, y) # y #segundo# es el vector # (b_1, b_2) #. Podemos resolver para #X# con alguna matriz de álgebra:

# x = A ^ (- 1) b #

dónde #A ^ (- 1) # Es la matriz inversa. Hay diferentes maneras de calcular la matriz inversa, por lo que no voy a entrar en eso ahora.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Así que para obtener las soluciones, tenemos:

# -12 * 119.75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119.75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76.5 + 10 * 94.5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76.5-16 * 94.5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152.75 + 10 * 188.5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152.75-16 * 188.5 = 39 = y_3 #

Ahora, ¿no es eso más fácil que resolver 3 sistemas?