¿Cómo encuentras la ecuación de una recta tangente a la función y = x ^ 2 (x-2) ^ 3 en x = 1?

Responder:

La ecuación es # y = 9x-10 #.

Explicación:

Para encontrar la ecuación de una recta, necesitas tres piezas: la pendiente, una #X# valor de un punto, y un # y # valor.

El primer paso es encontrar el derivado. Esto nos dará información importante sobre la pendiente de la tangente. Usaremos la regla de la cadena para encontrar el derivado.

# y = x ^ 2 (x-2) ^ 3 #

# y = 3x ^ 2 (x-2) ^ 2 (1) #

# y = 3x ^ 2 (x-2) ^ 2 #

La derivada nos dice qué puntos tiene la pendiente de la función original. Queremos conocer la pendiente en este punto particular, # x = 1 #. Por lo tanto, simplemente insertamos este valor en la ecuación derivada.

# y = 3 (1) ^ 2 (1-2) ^ 2 #

# y = 9 (1) #

# y = 9 #

Ahora, tenemos una pendiente y una #X# valor. Para determinar el otro valor, enchufamos #X# en la función original y resolver para # y #.

# y = 1 ^ 2 (1-2) ^ 3 #

# y = 1 (-1) #

# y = -1 #

Por lo tanto, nuestra pendiente es #9# y nuestro punto es #(1,-1)#. Podemos usar la fórmula para la ecuación de una línea para obtener nuestra respuesta.

# y = mx + b #

#metro# es la pendiente y #segundo# Es la intersección vertical. Podemos conectar los valores que conocemos y resolver los que no conocemos.

# -1 = 9 (1) + b #

# -1 = 9 + b #

# -10 = b #

Finalmente, podemos construir la ecuación de la tangente.

# y = 9x-10 #

¡He resuelto de esta manera! Por favor, vea la respuesta a continuación: