¿Cómo se usa la Prueba Integral para determinar la convergencia o divergencia de la serie: suma n e ^ -n de n = 1 al infinito?

Responder:

Tomar la integral # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, que es finito, y tenga en cuenta que limita #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Por lo tanto es convergente, por lo que #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # es tambien

Explicación:

La declaración formal de la prueba integral establece que si #fin 0, oo) rightarrowRR # Una función decreciente monótona que no es negativa. Entonces la suma #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # es convergente si y solo si # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # es finito (Tau, Terence. Análisis I, segunda edición. Agencia de libros Hindustan. 2009).

Esta afirmación puede parecer un poco técnica, pero la idea es la siguiente. Tomando en este caso la función. #f (x) = xe ^ (- x) #, notamos que para #x> 1 #, esta función está disminuyendo. Podemos ver esto tomando el derivado. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, ya que #x> 1 #, asi que # (1-x) <0 # y #e ^ (- x)> 0 #.

Debido a esto, observamos que para cualquier #ninNN _ (> = 2) # y #x en 1, oo) # tal que #x <= n # tenemos #f (x)> = f (n) #. Por lo tanto #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, asi que #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # utilizando la integración por partes y que #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Ya que #f (x)> = 0 #, tenemos # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, asi que #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Ya que #f (n)> = 0 #, las series #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # aumenta como #NORTE# aumenta Dado que está delimitado por # 3 / e #, debe converger. Por lo tanto #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # converge

Usamos la prueba de línea vertical para determinar si algo es una función, entonces, ¿por qué usamos una prueba de línea horizontal para una función inversa opuesta a la prueba de línea vertical?

Solo utilizamos la prueba de línea horizontal para determinar si la inversa de una función es realmente una función. Aquí se explica por qué: primero, debe preguntarse qué es lo inverso de una función, es donde se cambian x e y, o una función que es simétrica a la función original a través de la línea, y = x. Entonces, sí, usamos la prueba de la línea vertical para determinar si algo es una función. ¿Qué es una línea vertical? Bueno, su ecuación es x = algún número, todas las líneas donde x es igual a alguna consta

¿Cómo encuentro la convergencia o divergencia de esta serie? suma de 1 a infinito de 1 / n ^ lnn

Converge Considere la serie sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, donde p> 1. Por la prueba p, esta serie converge. Ahora, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p para todos lo suficientemente grandes n siempre que p sea un valor finito. Por lo tanto, mediante la prueba de comparación directa, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n converge. De hecho, el valor es aproximadamente igual a 2.2381813.

¿Cómo se prueba la convergencia para la suma (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) para k = 1 hasta el infinito?

La serie converge absolutamente. Primero note que: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 para k = 1 ... oo y (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 para k = 1 ... oo Por lo tanto, si sum5 / k ^ 3 converge, se sumará (4 + abs (cosk)) / k ^ 3, ya que será menor que la nueva expresión (y positiva). Esta es una serie p con p = 3> 1. Por lo tanto, la serie converge absolutamente: consulte http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html para obtener más información.