Sea N el entero más pequeño con 378 divisores. Si N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, ¿cuál es el valor de {a, b, c, d} en NN?

Responder:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Explicación:

Dado un numero #norte# con factorización prima #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, cada divisor de #norte# es de la forma # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # dónde #beta_i en {0, 1, …, alpha_i} #. Como los hay # alpha_i + 1 # opciones para cada # beta_i #, el número de divisores de #norte# es dado por

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Como # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, el número de divisores de #NORTE# es dado por # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Así, nuestro objetivo es encontrar #(a B C D)# tal que el producto anterior se mantiene y # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # es minimo A medida que estamos minimizando, asumiremos a partir de este punto que #a> = b> = c> = d # (Si este no fuera el caso, podríamos intercambiar exponentes para obtener un resultado menor con el mismo número de divisores).

Señalando que # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, podemos considerar los posibles casos en que #378# Está escrito como un producto de cuatro enteros. # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Podemos inspeccionarlos para ver cuál produce el menor resultado para #NORTE#.

Formato: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (rojo) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Podemos detenernos aquí, ya que cualquier caso adicional tendrá alguna #k_i> = 27 #dando # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, que ya es mayor que nuestro mejor caso.

Por el trabajo anterior, entonces, el #(a B C D)# lo que produce un mínimo #NORTE# con #378# divisores es # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #dando #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #