Un triángulo tiene esquinas en (4, 1), (2, 4) y (0, 2) #. ¿Cuáles son los puntos finales de las bisectrices perpendiculares del triángulo?

Responder:

Los puntos finales fáciles son los puntos medios, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# y los más difíciles son donde las bisectrices se encuentran con las otras partes, incluyendo #(8/3,4/3).#

Explicación:

Por las bisectrices perpendiculares de un triángulo, presumiblemente nos referimos a la bisectriz perpendicular de cada lado de un triángulo. Entonces hay tres bisectrices perpendiculares para cada triángulo.

Cada bisectriz perpendicular se define para intersectar un lado en su punto medio. También entrecruzará uno de los otros lados. Vamos a suponer que esos dos encuentros son los puntos finales.

Los puntos medios son

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Este es probablemente un buen lugar para aprender sobre representaciones paramétricas para líneas y segmentos de líneas. # t # es un parámetro que puede extenderse sobre los reales (para una línea) o desde #0# a #1# para un segmento de línea.

Vamos a etiquetar los puntos #A (4,1) #, #B (2,4) # y #C (0,2) #. Los tres lados son:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Como # t # va de cero a uno, trazamos cada lado.

Vamos a trabajar uno. #RE# es el punto medio de #ANTES DE CRISTO#, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

El vector de dirección de C a B es # B-C = (2,2) #. Para el perpendicular, cambiamos los dos coeficientes (no hay efecto aquí porque ambos son #2#) y negar uno. Así que la ecuación paramétrica para el perpendicular

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Línea diferente, parámetro diferente). Podemos ver dónde se encuentra cada uno de los lados.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # verifica que la bisectriz perpendicular se encuentre con BC en su punto medio.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Restando, # t = 2-3 = - 1 #

Eso está fuera del rango, por lo que la bisectriz perpendicular de BC no golpea el lado AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Restando, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Eso le da al otro punto final como

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Esto se está haciendo largo, así que les dejaré los otros dos puntos finales.