¿Cómo encuentras una representación de la serie de potencias para (arctan (x)) / (x) y cuál es el radio de convergencia?

Responder:

Integrar las series de potencias del derivado de. #arctan (x) # luego dividir por #X#.

Explicación:

Conocemos la representación en serie de potencias. # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # tal que #absx <1 #. Asi que # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Así que la serie de potencias de #arctan (x) # es #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Lo divides por #X#, te das cuenta que la serie de potencias de #arctan (x) / x # es #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Digamos #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Para encontrar el radio de convergencia de esta serie de potencias, evaluamos #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Así que si queremos que la serie de poder converja, necesitamos #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, entonces la serie converge si #absx <1 #, lo cual no es sorprendente ya que es el radio de convergencia de la representación de la serie de potencias de #arctan (x) #.

Las áreas de las dos caras del reloj tienen una relación de 16:25. ¿Cuál es la relación entre el radio de la esfera del reloj más pequeño y el radio de la cara del reloj más grande? ¿Cuál es el radio de la esfera del reloj más grande?

5 A_1: A_2 = 16: 25 A = pir ^ 2 => pir_1 ^ 2: pir_2 ^ 2 = 16: 25 => (pir_1 ^ 2) / (pir_2 ^ 2) = 16/25 => (r_1 ^ 2) / (r_2 ^ 2) = 4 ^ 2/5 ^ 2 => r_1 / r_2 = 4/5 => r_1: r_2 = 4: 5 => r_2 = 5

¿Qué es la prueba de comparación directa para la convergencia de una serie infinita?

Si está intentando determinar la conergencia de la suma {a_n}, entonces puede compararla con la suma b_n cuya convergencia es conocida. Si 0 leq a_n leq b_n y sum b_n converge, la suma a_n también converge. Si a_n geq b_n geq 0 y sum b_n divergen, entonces sum a_n también divergen. Esta prueba es muy intuitiva, ya que todo lo que dice es que si la serie más grande se confunde, entonces la serie más pequeña también converge, y si la serie más pequeña diverge, entonces la serie más grande diverge.

¿Cuál es el radio de convergencia de esta serie de potencias? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k pero sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Ahora considerando abs z <1 tenemos sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) e int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) haciendo la sustitución z -> - z tenemos -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) por lo que es convergente para abs z <1