¿Cómo encuentras una representación de la serie de potencias para (arctan (x)) / (x) y cuál es el radio de convergencia?

Responder:

Integrar las series de potencias del derivado de. #arctan (x) # luego dividir por #X#.

Explicación:

Conocemos la representación en serie de potencias. # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # tal que #absx <1 #. Asi que # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Así que la serie de potencias de #arctan (x) # es #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Lo divides por #X#, te das cuenta que la serie de potencias de #arctan (x) / x # es #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Digamos #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Para encontrar el radio de convergencia de esta serie de potencias, evaluamos #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Así que si queremos que la serie de poder converja, necesitamos #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, entonces la serie converge si #absx <1 #, lo cual no es sorprendente ya que es el radio de convergencia de la representación de la serie de potencias de #arctan (x) #.