¿Cuál es el radio de convergencia de esta serie de potencias? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Responder:

#abs z <1 #

Explicación:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k #

pero

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. Ahora considerando #abs z <1 # tenemos

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # y

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

ahora haciendo la sustitución #z -> - z # tenemos

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

por lo que es convergente para #abs z <1 #