¿Cómo se verifica la siguiente identidad?

Responder:

Usa unas pocas identidades trigonométricas y mucha simplificación. Vea abajo.

Explicación:

Cuando se trata de cosas como # cos3x #Ayuda a simplificarlo a las funciones trigonométricas de una unidad. #X#; es decir, algo como # cosx # o # cos ^ 3x #. Podemos usar la regla de la suma para el coseno para lograr esto:

#cos (alpha + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Entonces desde # cos3x = cos (2x + x) #, tenemos:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Ahora podemos reemplazar # cos3x # con la expresion anterior:

# (cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Podemos dividir esta fracción más grande en dos fracciones más pequeñas:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Observe cómo se cancelan los cosenos:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) cancel (cosx)) / cancel (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Ahora agregue un # sin ^ 2x-sin ^ 2x # en el lado izquierdo de la ecuación (que es lo mismo que sumar #0#). El razonamiento detrás de esto se aclarará en un minuto:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Reorganizar términos:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Usa la identidad pitagórica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # y combinar el # sin ^ 2x #s en los paréntesis:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Usted puede ver que nuestro pequeño truco de añadir # sin ^ 2x-sin ^ 2x # nos ha permitido utilizar la identidad pitagórica y recopilar la # sin ^ 2x # condiciones.

Y voilá:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.E.D.