¿Cómo se integra int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Responder:

Utilizar una # u #-sustitución para obtener # -3lnabs (cot (t)) + C #.

Explicación:

Primero, note que porque #3# Es una constante, podemos sacarla de la integral para simplificar:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Ahora, y esta es la parte más importante, observe que el derivado de #cot (t) # es # -csc ^ 2 (t) #. Debido a que tenemos una función y su derivado presente en la misma integral, podemos aplicar una # u # sustitución como esta:

# u = cuna (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Podemos convertir lo positivo. # csc ^ 2 (t) # a un negativo como este:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Y aplicar la sustitución:

# -3int (du) / u #

Lo sabemos #int (du) / u = lnabs (u) + C #, así se hace la evaluación de la integral. Solo necesitamos revertir el sustituto (volver a poner la respuesta en términos de # t #) y adjunte eso #-3# al resultado. Ya que # u = cuna (t) #, podemos decir:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (cot (t)) + C #

Y eso es todo.

Responder:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Explicación:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Recuérdalo

#sin 2t = 2sint * cost #

Asi que

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Como podemos encontrar en una tabla de integrales.

(por ejemplo, Tabla de integrales que contiene Csc (ax) en SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

obtenemos este resultado

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #