¿Cómo se integra int sec ^ -1x por el método de integración por partes?

Responder:

La respuesta es # = x "arco" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Explicación:

Necesitamos

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

La integración por partes es

# intu'v = uv-intuv '#

Aquí tenemos

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Por lo tanto, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Realizar la segunda integral por sustitución.

Dejar # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Dejar # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Asi que, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Finalmente, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Responder:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Explicación:

Alternativamente, podemos usar una fórmula poco conocida para elaborar integrales de funciones inversas. La fórmula dice:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

dónde # f ^ -1 (x) # es el inverso de #f (x) # y #F (x) # es el anti-derivado de #f (x) #.

En nuestro caso, obtenemos:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Ahora todo lo que tenemos que resolver es el anti-derivado. #F#, que es la integral secante familiar:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Al volver a incluir esto en la fórmula, obtenemos nuestra respuesta final:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Tenemos que tener cuidado al simplificar #tan (sec ^ -1 (x)) # a #sqrt (x ^ 2-1) # porque la identidad solo es valida si #X# es positivo. Sin embargo, tenemos suerte porque podemos arreglar esto poniendo un valor absoluto en el otro término dentro del logaritmo. Esto también elimina la necesidad del primer valor absoluto, ya que todo dentro del logaritmo siempre será positivo:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #