¿Cuáles son las soluciones para (z-1) ^ 3 = 8i?

Responder:

#z en {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Explicación:

Para este problema, necesitaremos saber cómo encontrar el # n ^ "th" # Raíces de un número complejo. Para ello utilizaremos la identidad.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Debido a esta identidad, podemos representar cualquier número complejo como

# a + bi = Re ^ (itheta) # dónde #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # y #theta = arctan (b / a) #

Ahora vamos a repasar los pasos para encontrar el # 3 ^ "rd" # raíces de un número complejo # a + bi #. Los pasos para encontrar el # n ^ "th" # Las raíces son similares.

Dado # a + bi = Re ^ (itheta) # Estamos buscando todos los números complejos. # z # tal que

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Como # z # es un numero complejo, existe # R_0 # y # theta_0 # tal que

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Entonces

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

De esto, tenemos inmediatamente # R_0 = R ^ (1/3) #. También podemos igualar los exponentes de #mi#, pero observando que como el seno y el coseno son periódicos con el período # 2pi #, luego de la identidad original, # e ^ (itheta) # será también Entonces nosotros tenemos

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # dónde #k en ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # dónde #k en ZZ #

Sin embargo, como si seguimos añadiendo # 2pi # Una y otra vez, terminaremos con los mismos valores, podemos ignorar los valores redundantes agregando la restricción # theta_0 en 0, 2pi) #, es decir, #k en {0, 1, 2} #

Poniendo todo junto, obtenemos el conjunto de soluciones

#z en {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Podemos convertir esto de nuevo a # a + bi # Forma si lo deseas utilizando la identidad.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Aplicando lo anterior al problema que nos ocupa:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Usando el proceso anterior, podemos encontrar el # 3 ^ "rd" # raíces de #yo#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) en {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Aplicando # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # tenemos

# i ^ (1/3) en {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Finalmente, sustituimos en estos valores por #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z en {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #