¿Demuestra que Cos ^ 6 (x) + sin ^ 6 (x) = 1/8 (5 + 3cos4x)?

Nosotros usaremos

# rarra ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) #

# rarra ^ 2 + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 + 2ab #

# rarrsin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

# rarr2cos ^ 2x = 1 + cos2x # y

# rarr2sin ^ 2x = 1-cos2x #

# LHS = cos ^ 6 (x) + sin ^ 6 (x) #

# = (cos ^ 2x) ^ 3 + (sin ^ 2x) ^ 3 #

# = cos ^ 2x + sin ^ 2x (cos ^ 2x) ^ 2-cos ^ 2x * sin ^ 2x + sin ^ 2x) ^ 2 #

# = 1 * (cos ^ 2x-sin ^ 2x) ^ 2 + 2cos ^ 2x * sin ^ 2x-cos ^ 2x * sin ^ 2x #

# = cos ^ 2 (2x) + cos ^ 2x * sin ^ 2x #

# = 1/4 4cos ^ 2 (2x) + 4cos ^ 2x * sin ^ 2x #

# = 1/4 2 (1 + cos4x) + sin ^ 2 (2x) #

# = 2 / (4 * 2) 2 + 2cos4x + sin ^ 2 (2x) #

# = 1/8 4 + 4cos4x + 2sin ^ 2 (2x) #

# = 1/8 4 + 4cos4x + 1-cos4x #

# = 1/8 5 + 3cos4x = RHS #

Demuestre que, (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Por favor ver más abajo. Sea 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), aquí r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2) ) -2) = 2cos (theta / 2) y tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) o alpha = theta / 2 entonces 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) y podemos escribir (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n usando el teorema de DE MOivre como r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r

¿Cómo verifica [sin ^ 3 (B) + cos ^ 3 (B)] / [sin (B) + cos (B)] = 1-sin (B) cos (B)?

Prueba a continuación Expansión de a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2), y podemos usar esto: (sin ^ 3B + cos ^ 3B) / (sinB + cosB) = ((sinB + cosB) (sin ^ 2B-sinBcosB + cos ^ 2B)) / (sinB + cosB) = sin ^ 2B-sinBcosB + cos ^ 2B = sin ^ 2B + cos ^ 2B-sinBcosB (identidad: sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1) = 1-sinBcosB

¿Demuestra que Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

# sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((ab) / 2) sin a - sin b = 2 sin ((ab) / 2) cos ((a + b) / 2 ) Lado derecho: cuna x (sin 5x - sin 3x) = cuna x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x Lado izquierdo: cuna (4x) (sin 5x + sin 3x) = cuna (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sen 4x cos x = 2 cos x cos 4 x Tienen el mismo número sqrt #