X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factorizar)?

Responder:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x ^ 2- (alfa + barra (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega alfa + omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alpha + omegabar (alfa)) x + 2) #

como se describe abajo…

Explicación:

Advertencia:

Esta respuesta bien puede ser más avanzada de lo que se espera que sepa.

Notas

Es posible simplificar y encontrar:

# alfa + barra (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alfa) = -1 #

pero no está (todavía) claro para mí cuál es la mejor manera de hacer esto.

Responder:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Explicación:

Aquí hay un método más simple …

Dado:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Busque una factorización de la forma:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = x ^ 6 + (alpha + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alfa + beta + gamma) x + 8 #

Igualando los coeficientes encontramos:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Asi que #alpha, beta, gamma # Son los ceros de los cúbicos:

# (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Tenga en cuenta que la suma de los coeficientes de este cúbico es #0#. Es decir #1-6+5 = 0#.

Por lo tanto # x = 1 # es un cero y # (x-1) # un factor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Los ceros de la cuadrática restante se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática como:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Asi que # {alfa, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Asi que:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Prima

¿Podemos generalizar la derivación anterior?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = x ^ 6 + (alpha + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Coeficientes de igualación:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Por lo tanto #alpha, beta, gamma # son los ceros de:

# x ^ 3-3qx-p #

Entonces, si podemos encontrar tres ceros reales de este cúbico, entonces tenemos la factorización de la sextic # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # En tres cuadráticas con coeficientes reales.