Dos lados opuestos de un paralelogramo tienen longitudes de 3. Si una esquina del paralelogramo tiene un ángulo de pi / 12 y el área del paralelogramo es 14, ¿qué tan largos son los otros dos lados?

Responder:

Suponiendo un poco de trigonometría básica …

Explicación:

Sea x la longitud (común) de cada lado desconocido.

Si b = 3 es la medida de la base del paralelogramo, sea h su altura vertical.

El área del paralelogramo es #bh = 14 #

Como se conoce b, tenemos #h = 14/3 #.

De Trig básico, #sin (pi / 12) = h / x #.

Podemos encontrar el valor exacto del seno usando una fórmula de semiángulo o de diferencia.

#sin (pi / 12) = sin (pi / 3 - pi / 4) = sin (pi / 3) cos (pi / 4) - cos (pi / 3) sin (pi / 4) #

# = (sqrt6 - sqrt2) / 4 #.

Asi que…

# (sqrt6 - sqrt2) / 4 = h / x #

# x (sqrt6 - sqrt2) = 4h #

Sustituye el valor de h:

# x (sqrt6 - sqrt2) = 4 (14/3) #

# x (sqrt6 - sqrt2) = 56/3 #

Dividir por la expresión entre paréntesis:

# x = 56 / (3 (sqrt6 - sqrt2)) #

Si requerimos que la respuesta sea racionalizada:

# x = 56 / (3 (sqrt6 - sqrt2)) * ((sqrt6 + sqrt2) / (sqrt6 + sqrt2)) #

# = 56 (sqrt6 + sqrt2) / (3 (4)) #

# = (14 (sqrt6 + sqrt2)) / (3) #

NOTA: Si tienes la fórmula #A = ab sin (theta) #, puedes usarlo para llegar a la misma respuesta más rápidamente.