¿Cuál es la integral de (ln (xe ^ x)) / x?

Responder:

#En t# #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Explicación:

Se nos da:

#En t# #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Utilizando #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Utilizando #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Utilizando #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Dividiendo la fracción (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Separando las integrales sumadas:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

La segunda integral es simplemente #x + C #, dónde #DO# Es una constante arbitraria. La primera integral, la usamos. # u #-sustitución:

Dejar #u equiv ln (x) #de ahí #du = 1 / x dx #

Utilizando # u #-sustitución:

# = int udu + x + C #

Integrando (la constante arbitraria #DO# Puede absorber la constante arbitraria de la primera integral indefinida:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Sustituyendo en términos de #X#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Responder:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Explicación:

Comenzamos utilizando la siguiente identidad logarítmica:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Aplicando esto a la integral, obtenemos:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Para evaluar la integral restante, utilizamos la integración por partes:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

voy a permitir #f (x) = ln (x) # y #g '(x) = 1 / x #. Entonces podemos calcular que:

#f '(x) = 1 / x # y #g (x) = ln (x) #

Luego podemos aplicar la fórmula de integración por partes para obtener:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Como tenemos la integral en ambos lados del signo igual, podemos resolverlo como una ecuación:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Volviendo a la expresión original, obtenemos nuestra respuesta final:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #