¿Cuáles son la asíntota (s) y el (los) orificio (s), si existen, de f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1)?

Responder:

#f (x) # tiene una asíntota vertical en # x = -1 #, un agujero en # x = 1 # y una asíntota horizontal # y = 0 #. No tiene asíntotas oblicuas.

Explicación:

#f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1) #

#color (blanco) (f (x)) = color (rojo) (cancelar (color (negro) ((x-1)))) / (color (rojo) (cancelar (color (negro) ((x-1)))) (x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

#color (blanco) (f (x)) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

con exclusión #x! = - 1 #

Tenga en cuenta que # x ^ 2 + 1> 0 # para cualquier valor real de #X#

Cuando # x = -1 # el denominador es cero y el numerador es distinto de cero. Asi que #f (x) # tiene una asíntota vertical en # x = -1 #

Cuando # x = 1 # tanto el numerador como el denominador de la expresión definitoria para #f (x) # son cero, pero la expresión simplificada está bien definida y es continua en # x = 1 #. Así que hay un agujero en # x = 1 #.

Como #x -> + - oo # El denominador de la expresión simplificada. # -> oo #, mientras que el numerador es constante #1#. Por lo tanto la función tiende a #0# y tiene una asíntota horizontal. # y = 0 #

#f (x) # no tiene asíntotas oblicuas (a.k.a. inclinadas). Para que una función racional tenga una asíntota oblicua, el numerador debe tener un grado exactamente uno más que el denominador.

gráfico {1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) -10, 10, -5, 5}