¿Cómo simplifico (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Responder:

# cos ^ 5x #

Explicación:

¡Este tipo de problema realmente no es tan malo una vez que reconoces que involucra un poco de álgebra!

Primero, reescribiré la expresión dada para que los siguientes pasos sean más fáciles de entender. Lo sabemos # sin ^ 2x # es solo una forma mas simple de escribir # (pecado x) ^ 2 #. Similar, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Ahora podemos reescribir la expresión original.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Ahora, aquí está la parte relacionada con el álgebra. Dejar #sin x = a #. Podemos escribir # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # como

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

¿Te parece familiar? ¡Solo necesitamos tener esto en cuenta! Este es un trinomio cuadrado perfecto. Ya que # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, podemos decir

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Ahora, vuelva a la situación original. Reemplazar #sin x # para #una#.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (color (azul) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Ahora podemos usar una identidad trigonométrica para simplificar los términos en azul. Reorganizando la identidad. # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, obtenemos #color (azul) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (color (azul) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Una vez que cuadramos esto, los signos negativos se multiplican para volverse positivos.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Así, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.