¿Cómo simplificas 2cos ^ 2 (4θ) -1 usando una fórmula de doble ángulo?

Responder:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Explicación:

Existen varias fórmulas de doble ángulo para el coseno. Por lo general, el preferido es el que convierte un coseno en otro coseno:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Realmente podemos tomar este problema en dos direcciones. La forma más sencilla es decir. # x = 4 theta # entonces obtenemos

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

que es bastante simplificado.

La forma habitual de hacerlo es obtener esto en términos de # cos theta #. Empezamos por dejar # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Si nos ponemos # x = cos theta # tendríamos el octavo polinomio de Chebyshev del primer tipo, # T_8 (x) #satisfactorio

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Supongo que la primera manera fue probablemente lo que están buscando.