¿Cómo encuentras la antiderivada de dx / (cos (x) - 1)?

Responder:

Haga un poco de multiplicación de conjugados, aplique un poco de trig, y termine para obtener un resultado de # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Explicación:

Como con la mayoría de los problemas de este tipo, lo resolveremos utilizando un truco de multiplicación de conjugados. Siempre que tenga algo dividido por algo más / menos algo (como en # 1 / (cosx-1) #), siempre es útil intentar la multiplicación de conjugados, especialmente con funciones trigonométricas.

Comenzaremos multiplicando # 1 / (cosx-1) # por el conjugado de # cosx-1 #, cual es # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Usted puede preguntarse por qué hacemos esto. Es para que podamos aplicar la diferencia de propiedad de los cuadrados. # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, en el denominador, para simplificarlo un poco. De vuelta al problema:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (blanco) (III) acolor (blanco) (XXX) bcolor (blanco) (XXX) acolor (blanco) (XXX) b #

Observe cómo esto es esencialmente # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Ahora que hay de # cos ^ 2x-1 #? Bueno nosotros sabemos # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Vamos a multiplicar eso por #-1# y ver lo que obtenemos:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Resulta que # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, entonces vamos a reemplazar # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Esto es equivalente a # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, que, utilizando algunos trigonometría, se reduce a # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

En este punto, hemos simplificado a integral. # int1 / (cosx-1) dx # a # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Usando la regla de la suma, esto se convierte en:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

El primero de estos es # cscx # (porque el derivado de # cscx # es # -cotxcscx #) y el segundo es # cotx # (porque el derivado de # cotx # es # -csc ^ 2x #). Añadir a la constante de integración. #DO# y tienes tu solución:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #