Reescribe la ecuación en un sistema x'y 'girado sin un término x'y'. ¿Puedo obtener ayuda? ¡Gracias!

Responder:

La segunda selección:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Explicación:

La ecuación dada

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

Se encuentra en la forma cartesiana general para una sección cónica:

# Axe ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

dónde #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 y F = -144 #

La referencia Rotación de ejes nos da ecuaciones que nos permiten rotar una sección cónica a un ángulo específico, # theta #. Además, nos da una ecuación que nos permite forzar el coeficiente de # xy # para convertirse en 0.

# theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Sustituyendo los valores de la ecuación 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Simplificar:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Use la ecuación (9.4.4b) para verificar que la nueva rotación cause el coeficiente de # xy # plazo para ser 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # verificado

Usa la ecuación (9.4.4a) para calcular #UNA'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2 theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Usa la ecuación (9.4.4c) para calcular #DO'#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2 theta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Usa la ecuación (9.4.4f) para calcular #F'#

#F '= F #

#F '= -144 #

Ahora, podemos escribir la forma sin rotar:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Divide ambos lados por 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Agrega 1 a ambos lados:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Responder:

Opción B

Explicación:

Podemos escribir la ecuación en forma de matriz y luego girarla sobre su eje principal.

Dejar:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

Y así, en forma matricial:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad cuadrado #

Para rotar los ejes. # bbx # por # theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Transposición #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, como R es ortogonal

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Poniendo estos 2 últimos resultados en #cuadrado#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW si R Es la matriz que diagonaliza. METRO, entonces tenemos la ecuación en términos de sus ejes principales para la matriz de vector propio diagonal re, es decir:

• #D = R M R ^ (- 1) #

METRO Los valores propios de los valores son 36 y 16, por lo que se pueden diagonalizar como:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #