Tres griegos, tres estadounidenses y tres italianos están sentados al azar alrededor de una mesa redonda. ¿Cuál es la probabilidad de que las personas en los tres grupos estén sentadas juntas?

Responder:

#3/280#

Explicación:

Contemos las formas en que los tres grupos podrían estar sentados uno al lado del otro, y comparemos esto con la cantidad de formas en que los 9 podrían estar sentados al azar.

Numeraremos las personas del 1 al 9 y los grupos. #A, G, I. #

#stackrel A overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Hay 3 grupos, por lo que hay #3! = 6# Formas de organizar los grupos en una línea sin alterar sus órdenes internas:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Hasta ahora esto nos da 6 permeaciones válidas.

Dentro de cada grupo, hay 3 miembros, así que hay otra vez #3! = 6# Formas de organizar a los miembros dentro de cada uno de los 3 grupos:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

Combinado con las 6 formas de organizar los grupos, ahora tenemos #6^4# Permutaciones válidas hasta ahora.

Y como estamos en una mesa redonda, permitimos los 3 arreglos donde el primer grupo podría ser "la mitad" en un extremo y "la mitad" en el otro:

# "A A A G G G I I" #

# "A A G G G I I I A" #

# "A G G G I I I A A" #

El número total de maneras de conseguir que los 3 grupos se sienten juntos es # 6 ^ 4 xx 3. #

El número de formas aleatorias para organizar las 9 personas es #9!#

La probabilidad de elegir al azar una de las formas "exitosas" es entonces

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#