¿Cómo encuentras el área de un paralelogramo con vértices?

Responder:

Para paralelogramo #A B C D# el area es

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Explicación:

Supongamos que nuestro paralelogramo #A B C D# Se define por las coordenadas de sus cuatro vértices. # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Para determinar el área de nuestro paralelogramo, necesitamos la longitud de su base # | AB | # y la altitud # | DH | # del vértice #RE# apuntar # H # En el lado # AB # (es decir, #DH_ | _AB #).

En primer lugar, para simplificar la tarea, vamos a moverla a una posición en la que su vértice #UNA# Coincide con el origen de las coordenadas. El área será la misma, pero los cálculos serán más fáciles.

Entonces, realizaremos la siguiente transformación de coordenadas:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Entonces el (# U, V #) Las coordenadas de todos los vértices serán:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Nuestro paralelogramo ahora está definido por dos vectores:

# p = (U_B, V_B) # y # q = (U_D, V_D) #

Determine la longitud de la base # AB # como la longitud del vector #pag#:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

La longitud de altitud # | DH | # se puede expresar como # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

La longitud #ANUNCIO# es la longitud del vector # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Ángulo #/_MALO# se puede determinar utilizando dos expresiones para el producto escalar (punto) de los vectores #pag# y # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

a partir del cual

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Ahora conocemos todos los componentes para calcular el área:

Base # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Altitud # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

El área es su producto:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

En términos de coordenadas originales, se ve así:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Responder:

otra discusión

Explicación:

Prueba geométrica

Teniendo en cuenta la figura

podemos establecer fácilmente la fórmula para el cálculo del área de un paralelogramo ABCD, cuando se conocen tres vértices (por ejemplo, A, B, D).

Como la diagonal BD divide el paralelogramo en dos triángulos congruentes.

El área del paralelogramo ABCD.

= 2 área del triángulo ABD

= 2 área de trapecio BAPQ + área de trampa BQRD - área de trampa DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + cancelar (Y_BX_B) -cancelar (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + cancelar (Y_DX_D) -cancelar (Y_AXX_B) -Y_AX_D-cancelar (Y_DX_D) + cancelar (Y_AXX_B) -Y_AX_D-YAC

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Esta fórmula le dará el área del paralelogramo.

Prueba considerando vector

También se puede establecer considerando #vec (AB) # y# vec (AD) #

Ahora

Vector de posición del punto A w.r, t el origen O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Vector de posición del punto B w.r, t el origen O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Vector de posición del punto D w.r, t el origen O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Ahora

Área del paralelogramo ABCD

# = Base (AD) * Altura (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Otra vez

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Área = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + cancel (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Así tenemos la misma fórmula.

El área de un paralelogramo es de 24 centímetros y la base del paralelogramo es de 6 centímetros. ¿Cuál es la altura del paralelogramo?

4 centímetros. El área de un paralelogramo es la base xx altura 24 cm ^ 2 = (6 xx altura) implica 24/6 = altura = 4cm

Dos lados opuestos de un paralelogramo tienen longitudes de 3. Si una esquina del paralelogramo tiene un ángulo de pi / 12 y el área del paralelogramo es 14, ¿qué tan largos son los otros dos lados?

Suponiendo un poco de trigonometría básica ... Sea x la longitud (común) de cada lado desconocido. Si b = 3 es la medida de la base del paralelogramo, sea h su altura vertical. El área del paralelogramo es bh = 14 Dado que b es conocido, tenemos h = 14/3. Desde Trig básico, sin (pi / 12) = h / x. Podemos encontrar el valor exacto del seno usando una fórmula de semiángulo o de diferencia. sin (pi / 12) = sin (pi / 3 - pi / 4) = sin (pi / 3) cos (pi / 4) - cos (pi / 3) sin (pi / 4) = (sqrt6 - sqrt2) / 4. Entonces ... (sqrt6 - sqrt2) / 4 = h / xx (sqrt6 - sqrt2) = 4h Sustituye el valor de h:

Un paralelogramo tiene lados con longitudes de 16 y 15. Si el área del paralelogramo es 60, ¿cuál es la longitud de su diagonal más larga?

Longitud de la diagonal más larga d = 30.7532 "" unidades El problema requerido es encontrar la diagonal más larga d Área del paralelogramo A = base * altura = b * h Deje la base b = 16 Deje el otro lado a = 15 Deje la altura h = A / b Resuelve para la altura hh = A / b = 60/16 h = 15/4 Sea theta el mayor ángulo interior que es opuesto a la diagonal más larga d. theta = 180 ^ @ - sin ^ -1 (h / a) = 180 ^ @ - 14.4775 ^ @ theta = 165.522 ^ @ Por la Ley del Coseno, podemos resolver ahora para dd = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 -2 * a * b * cos theta)) d = sqrt ((15 ^ 2 + 16 ^ 2-2 * 15 * 16 * cos 165.