Deje que p sea primo. Muestre que S = {m + nsqrt (-p) m, n en ZZ} es un subgrupo de CC ... Además, verifique si S es un ideal de CC?

Deje que p sea primo. Muestre que S = {m + nsqrt (-p) m, n en ZZ} es un subgrupo de CC ... Además, verifique si S es un ideal de CC?
Anonim

Responder:

# S # Es un subring pero no un ideal.

Explicación:

Dado:

#S = m + nsqrt (-p) #

  • # S # contiene la identidad aditiva:

    # 0 + 0sqrt (-p) = 0color (blanco) (((1/1), (1/1)) #

  • # S # está cerrado bajo adición:

    # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) + (m_2 + n_2 sqrt (-p)) = (m_1 + m_2) + (n_1 + n_2) sqrt (-p) color (blanco) (((1/1), (1/1))) #

  • # S # Se cierra bajo inverso aditivo:

    # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) + (-m_1 + -n_1 sqrt (-p)) = 0color (blanco) (((1/1), (1/1))) #

  • # S # se cierra bajo multiplicación:

    # (m_1 + n_1 sqrt (-p)) (m_2 + n_2 sqrt (-p)) = (m_1m_2-pn_1n_2) + (m_1n_2 + m_2n_1) sqrt (-p) color (blanco) ((1/1), (1/1))) #

Asi que # S # es un subring de # CC #.

No es un ideal, ya que no tiene la propiedad de absorción.

Por ejemplo:

#sqrt (3) (1 + 0sqrt (-p)) = sqrt (3)! en S #