¿Cómo se integra esto? dx (x²-x + 1) Estoy atascado en esta parte (imagen cargada)

Responder:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Explicación:

Llevandolo…

Dejar # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Usando una antiderivada lo que debe comprometerse con la memoria …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Esta es una integral poco complicada, y la solución no parecerá obvia al principio. Ya que esto es una fracción, podríamos tratar de considerar el uso de la técnica de fracciones parciales, pero un análisis rápido revela que esto no es posible ya que # x ^ 2-x + 1 # No es factorable.

Intentaremos obtener esta integral en una forma que realmente podamos integrar. Note la similitud entre # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # y # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; Sabemos que la última integral evalúa a # arctanx + C #. Por eso intentaremos conseguir # x ^ 2-x + 1 # en la forma #k (x-a) ^ 2 + 1 #, y luego aplicar el # arctanx # regla.

Tendremos que completar el cuadrado en # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(muy desordenado, lo sé)

Ahora que lo tenemos en nuestra forma deseada, podemos proceder de la siguiente manera:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #