Las dos esquinas de un triángulo isósceles están en (2, 5) y (9, 8). Si el área del triángulo es 12, ¿cuáles son las longitudes de los lados del triángulo?

Responder:

#sqrt (1851/76) #

Explicación:

Las dos esquinas del triángulo isósceles están en (2,5) y (9,8). Para encontrar la longitud del segmento de línea entre estos dos puntos, usaremos el fórmula a distancia (una fórmula derivada del teorema de Pitágoras).

Fórmula de distancia para puntos # (x_1, y_1) # y # (x_2, y_2) #:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Así que dados los puntos #(2,5)# y #(9,8)#, tenemos:

# D = sqrt ((9-2) ^ 2 + (8-5) ^ 2) #

# D = sqrt (7 ^ 2 + 3 ^ 2) #

# D = sqrt (49 + 9) #

# D = sqrt (57) #

Así que sabemos que la base tiene una longitud. #sqrt (57) #.

Ahora sabemos que el área del triángulo es # A = (bh) / 2 #, donde b es la base y h es la altura. Como sabemos eso # A = 12 # y # b = sqrt (57) #, podemos calcular para # h #.

# A = (bh) / 2 #

# 12 = (sqrt (57) h) / 2 #

# 24 = (sqrt (57) h) #

# h = 24 / sqrt (57) #

Finalmente, para encontrar la longitud de un lado, usaremos el teorema de Pitágoras (# a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #). En la imagen, puedes ver que podemos dividir un triángulo isósceles en dos triángulos rectos. Entonces, para encontrar la longitud de un lado, podemos tomar uno de los dos triángulos rectángulos y luego usar la altura # 24 / sqrt (57) # y la base #sqrt (57) / 2 #. Toma nota de que dividimos la base por dos.

# a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #

# (24 / sqrt (57)) ^ 2+ (sqrt (57) / 2) ^ 2 = c ^ 2 #

# 576/57 + 57/4 = c ^ 2 #

# 192/19 + 57/4 = c ^ 2 #

# (768 + 1083) / 76 = c ^ 2 #

# 1851/76 = c ^ 2 #

# c = sqrt (1851/76) #

Así que la longitud de sus lados es #sqrt (1851/76) #