El círculo A tiene un centro en (6, 5) y un área de 6 pi. El círculo B tiene un centro en (12, 7) y un área de 48 pi. ¿Se superponen los círculos?

Responder:

Ya que

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # y

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

Podemos hacer un triángulo real con lados cuadrados 48, 6 y 40, por lo que estos círculos se intersecan.

Explicación:

¿Por qué lo gratuito? #Pi#?

El area es #A = pi r ^ 2 # asi que # r ^ 2 = A / pi. # Así que el primer círculo tiene un radio. # r_1 = sqrt {6} # y el segundo # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Los centros son #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # aparte.

Así que los círculos se superponen si #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Eso es tan feo que se te perdonaría por alcanzar la calculadora. Pero en realidad no es necesario. Tomemos un desvío y veamos cómo se hace esto utilizando la trigonometría racional. Ahí solo nos preocupan las longitudes cuadradas, llamadas quadrances.

Digamos que queremos probar si tres quadrances #A B C# son los cuadriláteros entre tres puntos colineales, es decir, #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # o #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # o #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Lo escribiremos como

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Escuadrar

#C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

En cuadratura otra vez, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Resulta

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

es un discriminante para triangulos. Solo mostramos si #mathcal {A} = 0 # eso significa que tenemos una triángulo degenerado, Formado a partir de tres puntos colineales. Si #mathcal {A}> 0 # entonces tenemos un triángulo real, Cada lado es menor que la suma de los otros dos. Si #mathcal {A} <0 # no tenemos lados que satisfagan la desigualdad del triángulo, y a veces llamamos a esto una triángulo imaginario.

Volvamos a nuestra pregunta armados con nuestro nuevo triángulo discriminante. #mathcal {A} #. Si los círculos se intersecan podemos hacer un triángulo de los dos centros y una intersección, por lo que los lados tendrán longitudes. # r_1 #, # r_2 #, y la distancia entre los centros. #(6,5)# y #(12,7)#. Tenemos

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # así que tenemos un triángulo real, es decir, círculos superpuestos.

Oh si, para cualquier triangulo #mathcal {A} = 16 (texto {área}) ^ 2. #

Cheque: alfa

El círculo A tiene un centro en (12, 9) y un área de 25 pi. El círculo B tiene un centro en (3, 1) y un área de 64 pi. ¿Se superponen los círculos?

Sí. Primero debemos encontrar la distancia entre los centros de los dos círculos. Esto se debe a que esta distancia es donde los círculos estarán más próximos entre sí, por lo que si se superponen estará en esta línea. Para encontrar esta distancia podemos usar la fórmula de la distancia: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Ahora debemos encontrar el radio de cada círculo. Sabemos que el área de un círculo es pir ^ 2, así que podemos usar eso para resolver para r. pi (r_1) ^ 2

El círculo A tiene un centro en (3, 5) y un área de 78 pi. El círculo B tiene un centro en (1, 2) y un área de 54 pi. ¿Se superponen los círculos?

Sí. Primero, necesitamos la distancia entre los dos centros, que es D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Ahora necesitamos la suma de los radios, ya que: D> (r_1 + r_2); "Los círculos no se superponen" D = (r_1 + r_2); "Los círculos solo tocan" D <(r_1 + r_2); "Los círculos se superponen" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61, así que los

El círculo A tiene un centro en (1, 5) y un área de 24 pi. El círculo B tiene un centro en (8, 4) y un área de 66 pi. ¿Se superponen los círculos?

Sí, los círculos se superponen. La distancia desde el centro del círculo A hasta el centro del círculo B = 5sqrt2 = 7.071 La suma de sus radios es = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Dios bendiga ... Espero que la explicación sea útil.