El círculo A tiene un centro en (3, 5) y un área de 78 pi. El círculo B tiene un centro en (1, 2) y un área de 54 pi. ¿Se superponen los círculos?

Responder:

Sí

Explicación:

Primero, necesitamos la distancia entre los dos centros, que es # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

Ahora necesitamos la suma de radios, ya que:

#D> (r_1 + r_2); "Los círculos no se superponen" #

# D = (r_1 + r_2); "Los círculos simplemente tocan" #

#D <(r_1 + r_2); "Los círculos se superponen" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, entonces los círculos se superponen.

Prueba:

gráfico {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33, 19.67, -7.36, 12.64}

Responder:

Estos se superponen si #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Podemos omitir la calculadora y comprobar. # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # o #4(13)(54) > 11^2# que seguramente es, así que sí, se superponen.

Explicación:

El área del círculo es por supuesto #pi r ^ 2 # Así que repartimos lo gratuito. #Pi#s.

Tenemos radios cuadrados

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

y distancia cuadrada entre los centros.

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Básicamente queremos saber si # r_1 + r_2 ge d #, es decir, si podemos hacer un triángulo de dos radios y el segmento entre los centros.

Las longitudes cuadradas son todos enteros agradables y es una locura que todos alcancemos instintivamente la calculadora o la computadora y comencemos a sacar raíces cuadradas.

No tenemos que hacerlo, pero requiere un pequeño desvío. Usemos la fórmula de Heron, llamemos al área. # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # dónde # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Eso ya es mejor que Heron. Pero seguimos. Me saltaré un poco de tedio.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Eso es muy simétrico, como lo esperaríamos para una fórmula de área. Hagámoslo menos simétrico. Recordar

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Añadiendo, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Esa es una fórmula para el área cuadrada de un triángulo dadas las longitudes cuadradas de los lados. Cuando los últimos son racionales, también lo es lo primero.

Vamos a probarlo. Somos libres de asignar los bandos como queramos; para el cálculo de la mano es mejor hacer #do# el lado mas grande, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Incluso antes de volver a calcularlo, podemos ver que tenemos un positivo # 16Q ^ 2 # un triángulo real con un área positiva, círculos superpuestos.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Si hubiéramos obtenido un valor negativo, un área imaginaria, eso no es un triángulo real, por lo que los círculos no se superponen.