¿Cómo calcular la suma de esto? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

¿Cómo calcular la suma de esto? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n
Anonim

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Considerando #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) suma_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

pero # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # y

# d ^ 2 / (dx ^ 2) suma_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # entonces

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Responder:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # cuando # | x | <1 #

Explicación:

Comenzamos escribiendo algunos de los coeficientes:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Lo primero que queremos ver es los coeficientes (el grado de #X# Se puede ajustar fácilmente al multiplicar y dividir la serie por #X#, por lo que no son tan importantes). Vemos que todos son múltiplos de dos, por lo que podemos sacar un factor de dos:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Los coeficientes dentro de este paréntesis se pueden reconocer como la serie binomial con una potencia de # alfa = -3 #:

# (1 + x) ^ alpha = 1 + alphax + (alpha (alpha-1)) / (2!) X ^ 2 + (alpha (alpha-1) (alpha-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Notamos que los exponentes de todos los términos en el paréntesis son mayores en dos en comparación con las series que acabamos de obtener, por lo que debemos multiplicar # x ^ 2 # para obtener la serie correcta:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Esto significa que nuestra serie es (cuando converge) igual a:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Solo para verificar que no cometimos un error, podemos usar rápidamente la Serie Binomial para calcular una serie para # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Podemos describir este patrón así:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Dado que el primer término es justo #0#, podemos escribir:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

que es la serie con la que empezamos, verificando nuestro resultado.

Ahora solo necesitamos averiguar el intervalo de convergencia, para ver cuándo la serie realmente tiene un valor. Podemos hacer esto observando las condiciones de convergencia de la serie binomial y encontrar que la serie converge cuando # | x | <1 #