Asumiré que desde que se llama la variable #X#, nos estamos restringiendo a #x en RR #. Si es así, # RR # es el dominio, ya que #f (x) # está bien definido para todos #x en RR #.
El término de orden más alto es que en # x ^ 4 #, asegurando que:
#f (x) -> + oo # como #x -> -oo #
y
#f (x) -> + oo # como #x -> + oo #
El valor mínimo de #f (x) # ocurrirá en uno de los ceros de la derivada:
# d / (dx) f (x) = 4x ^ 3-12x ^ 2 + 8x #
# = 4x (x ^ 2-3x + 2) #
# = 4x (x-1) (x-2) #
…Eso es cuando #x = 0 #, #x = 1 # o #x = 2 #.
Sustituyendo estos valores de #X# en la fórmula para #f (x) #, encontramos:
#f (0) = 1 #, #f (1) = 2 # y #f (2) = 1 #.
El quartico #f (x) # es una especie de forma de "W" con valor mínimo #1#.
Así que el rango es # {y en RR: y> = 1} #
