¿Cuáles son los máximos y mínimos locales de f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Responder:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Esta función tiene una asíntota vertical en # x = 2 #, enfoques #1# desde arriba como x va a # + oo # (asíntota horizontal) y abordajes. #1# desde abajo como x va a # -oo #. Todos los derivados no están definidos en # x = 2 # también. Hay un mínimo local en # x = 0 #, # y = 0 # (¡Todos esos problemas por el origen!)

Tenga en cuenta que es posible que desee revisar mis matemáticas, incluso los mejores de nosotros eliminan el extraño signo negativo y esta es una pregunta larga.

Explicación:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Esta función tiene una asíntota vertical en # x = 2 #, porque el denominador es cero cuando # x = 2 #.

Se acerca #1# desde arriba como x va a # + oo # (asíntota horizontal) y abordajes. #1# desde abajo como x va a # -oo #, porque para grandes valores # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # con # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # para #x> 0 # y # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # para #x <0 #.

Para encontrar max / min necesitamos el primer y segundo derivado.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # ¡Usa la regla del cociente!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Usando la regla para los poderes y la regla de la cadena obtenemos:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Ahora hemos mejorado un poco …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Ahora la segunda derivada, hecha como la primera.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Es feo, pero solo necesitamos conectarnos y anotar dónde se ha comportado mal.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Esta función no está definida en # x = 2 #, esa asíntota, pero luce bien en cualquier otro lado.

Queremos saber donde están los max / min son …

nosotros fijamos # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # esto es cero cuando el numerador es cero y si el denominador no lo es.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # o # 4x (2-x) = 0 # Esto es cero en # x = 0 # y # x = 2 #, pero no podemos tener un max / min donde la función / derivada no esté definida, por lo que la única posibilidad es # x = 0 #.

"La segunda prueba derivada"

Ahora miramos el segundo derivado, feo como es …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Al igual que la función y la primera derivada, esto no está definido en # x = 2 #, pero se ve bien en cualquier otro lado.

Nos enchufamos # x = 0 # dentro # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, ¿no es cero un número tan bonito para conectarlo?

#=128/256# todo eso por #1/2#

#1/2 >0# asi que # x = 0 # Es un mínimo local.

Para encontrar el valor y, necesitamos conectarlo a la función.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # ¡El origen!